Misure in fisica e chimica

Misurare significa confrontare una determinata grandezza fisica con un’altra, congruente ad essa, detta campione. Per grandezza fisica si intende una lunghezza, un volume, una temperatura, eccetera. Qualità come la bellezza o la simpatia non possono essere misurate e quindi non possono venir definite grandezze.

Se si effettua una misura di lunghezza, si determina quante volte la nostra lunghezza campione, scelta in modo arbitrario e detta unità, è contenuta nella lunghezza presa in esame. La misura viene quindi espressa da un numero, seguito dall’unità di misura utilizzata. Per facilitare il compito si può dividere l’unità in tante piccole parti, tutte uguali, per ottenere dei sottomultipli.

Nel nostro sistema di misura viene usata la divisione decimale. Quindi tra un sottomultiplo e quello vicino c’è una differenza pari ad un ordine di grandezza.

È chiaro che, per quanto ognuno di noi si sforzi, una misura sarà sempre compresa tra un valore minimo ed un valore massimo; se si utilizzano dei sottomultipli la misura ricadrà in un intervallo più piccolo ma sarà sempre approssimata, o per meglio dire, affetta da incertezza.

Per effettuare una misura ci si deve avvalere di appositi strumenti. Essi possiedono due caratteristiche:

• la sensibilità, che è il più piccolo valore della misura fornito dallo strumento
• la portata, che è il massimo valore della misura permesso da uno strumento.

Se la misura viene ottenuta dalla lettura immediata dello strumento si chiama diretta, se invece viene ottenuta da calcoli con misure dirette si chiama indiretta: ad esempio la misura del lato di un tavolo posso ottenerla direttamente, ma se voglio sapere qual è la misura della superficie dovrò misurare anche il secondo lato e moltiplicare tra di esse queste due misure. La lunghezza viene definita genericamente grandezza fondamentale, mentre la superficie, derivando da un calcolo tra grandezza fondamentali, viene detta grandezza derivata.

Le misure sono caratterizzate da incertezza, che dipende dalla sensibilità dello strumento utilizzato. Questa incertezza viene quantificata ed espressa insieme alla misura.

Ad esempio, ritornando all’esempio del tavolo, se si misura il lato maggiore, supponiamo 120 cm, con uno strumento che ha una sensibilità di 1 cm, il lato verrà indicato correttamente così:

l = (120 ± 1) cm

Ciò significa che la nostra misura oscilla tra il valore massimo l_max = 121 cm e l_min = 119 cm. L’incertezza, detta Δl (si legge delta elle), sarà data dalla seguente formula:

e viene detta anche errore assoluto.

La misura è quindi data dalla media aritmetica tra valore massimo e valore minimo, più o meno l’incertezza.

Il rapporto tra il valore dell’incertezza e la misura stessa viene detto errore relativo (di solito viene indicato con la lettera greca epsilon ed è ovviamente adimensionale):

La sua importanza risiede nel fatto che è facile, tramite la sua diretta valutazione, capire quanto incide l’incertezza su una determinata misura. Ad esempio, se misuro il tavolo con un righello che ha una sensibilità pari ad 1 mm e con lo stesso strumento misuro l’altezza della mia stanza (ad esempio 2,400 m), come faccio a sapere qual è la misura più affetta da errore?

Facile! Basta calcolare i due errori relativi e confrontarli.

Calcoliamo l’errore relativo nella prima misura, quella del lato del tavolo visto sopra. Facciamo attenzione però a convertire, mediante le equivalenze, le misure: esse debbono essere espresse con la stessa unità di misura.

Calcoliamo, allo stesso modo, l’errore relativo alla seconda misura, quella dell’altezza della stanza:

Ora è facile capire che è più grave l’incertezza nella prima misura, piuttosto che nella seconda, dato che l’errore relativo è maggiore.

Si usa dire in questo caso che la seconda misura è più precisa.

Il calcolo degli errori così effettuato va bene quando si utilizza uno strumento e si deve leggere una scala di tipo analogico.

Che cosa bisogna fare però quando si effettuano più misure su uno strumento diverso, ad esempio quando si effettua una misura del tempo con un cronometro? Qui l’incertezza nella misura deriva dal tempo di reazione dell’operatore e non dall’interpretazione di una scala. In tal caso è meglio effettuare una serie di misure e fare la media aritmetica.

Facciamo un esempio. Supponiamo di aver effettuato 4 misure (in secondi):

2,3 2,4 2,5 2,4

Possiamo affermare che il valore più probabile è compreso tra 2,3 s e 2,5 s: la sua stima migliore è data dalla media, cioè 2,4 s.

Tutto ciò si esprime così:

tempo stimato = (2,4 ± 0,1) s

Da questo esempio si nota che la stima migliore giace nella metà dell’intervallo di probabilità (2,3÷2,5), cosa che accade spesso.

Generalizzando si può scrivere una relazione di questo tipo:

misura di x = x_medio ± δx

Il valore di x_medio si ottiene facendo la somma di tutte le misure effettuate, diviso per n valori.

Il valore δx è l’incertezza insita nella serie di misure effettuate e si ottiene facendo la somma dei valori dell’intervallo e dividendo per 2.

Quando si ottengono misure derivanti da calcoli si può presentare un altro problema: alcune volte l’incertezza è costituita da un numero elevato di cifre. In questo caso come bisogna comportarsi?

Se uno studente, ad esempio, calcola la densità di un materiale e ottiene la seguente misura:

ρ = 5,28 ± 0,033963 g/cm³

è ovvio che l’errore espresso così non ha nessun significato fisico. Non è infatti ammissibile presentare un errore con un numero così elevato di cifre.

Prima di spiegare come ci si deve comportare bisogna introdurre il concetto di cifre significative.

Le cifre significative, nella pratica scientifica, esprimono tutte le cifre certe più la prima cifra incerta: esse sono tutte quelle che compongono un numero, eccetto gli zeri che servono ad indicare la posizione della virgola.

Ci sono alcune regole da seguire:

a) tutte le cifre diverse da zero sono sempre significative. Esempi: 0,0007856 presenta 4 cifre significative, 17500 presenta 3 cifre significative

b) tutti gli zeri a destra della virgola sono significativi. Esempi: 12,0 presenta 3 cifre significative, 1,20 ne presenta sempre 3, 120,0 ne presenta 4; 120,00 ne presenta 5.

c) tutti gli zeri compresi tra due cifre diverse da zero sono considerate cifre significative. Esempi: 7,009 presenta 4 cifre significative, 0,0309 presenta 3 cifre significative

d) gli zeri utilizzati unicamente con lo scopo di posizionare la virgola non sono significativi. Esempi: 0,0056 presenta 2 cifre significative; 0,000450 presenta 3 cifre significative.

e) gli zeri che seguono cifre diverse da zero in numeri maggiori di 1 non sono significativi, a meno che nel numero non appaia una virgola. Esempi: 12000 presenta 2 cifre significative; 12000,0 presenta 6 cifre significative.

Per evitare problemi di interpretazione del corretto numero di cifre significative, nelle scienze si utilizza un’apposita notazione, detta appunto notazione scientifica o esponenziale. Con questo sistema si esprime il numero solo con le cifre significative, seguito da una opportuna potenza del dieci.

Esempi

0,00304 ha 3 cifre significative e si esprime, secondo la notazione scientifica, come 3,04·10^-3

12000 ha 2 cifre significative e si esprime, secondo la notazione scientifica, come 1,2·10⁴

0,007206 ha 4 cifre significative e si esprime, secondo la notazione scientifica, come 7,206·10^-3

Dovremo quindi arrotondare l’errore al centesimo, ottenendo:

ρ = 5,28 ± 0,03 g/cm³

Come regola si arrotonda per difetto se la cifra che segue quella da arrotondare è compresa tra 0 e 4; si arrotonda per eccesso se la cifra che segue quella da arrotondare è compresa tra 5 e 9. Come eccezione, se la prima cifra è 1, è preferibile tenere due cifre.